【高中数学常用公式】在高中阶段，数学作为一门基础学科，贯穿于各个学习领域，尤其在理科类课程中占据重要地位。掌握一些常用的数学公式，不仅有助于提高解题效率，还能增强对数学概念的理解和应用能力。以下是一些高中数学中常见的公式整理，涵盖代数、几何、三角函数、数列与不等式等多个方面。
一、代数公式
1. 平方差公式
$$
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
$$
2. 完全平方公式
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
3. 立方和与立方差公式
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
4. 因式分解常用方法
- 提取公因式法
- 公式法（如平方差、完全平方）
- 分组分解法
5. 二次方程求根公式
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
二、几何公式
1. 勾股定理
在直角三角形中，设斜边为 $ c $，两直角边为 $ a $ 和 $ b $，则：
$$
a^2 + b^2 = c^2
$$
2. 圆的周长与面积
- 周长：$ C = 2\pi r $
- 面积：$ S = \pi r^2 $
3. 三角形面积公式
- 底×高÷2：$ S = \frac{1}{2} \times a \times h $
- 海伦公式：若三边为 $ a, b, c $，半周长为 $ s = \frac{a + b + c}{2} $，则面积为：
$$
S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
$$
4. 矩形与正方形面积
- 矩形：$ S = a \times b $
- 正方形：$ S = a^2 $
三、三角函数公式
1. 基本三角函数定义
在直角三角形中，设角 $ \theta $ 的对边为 $ a $，邻边为 $ b $，斜边为 $ c $，则：
$$
\sin\theta = \frac{a}{c}, \quad \cos\theta = \frac{b}{c}, \quad \tan\theta = \frac{a}{b}
$$
2. 三角恒等式
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
$$
3. 正弦与余弦的和差公式
$$
\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\
\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
$$
4. 正弦定理与余弦定理
- 正弦定理：$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
- 余弦定理：$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $
四、数列与不等式
1. 等差数列通项公式
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
2. 等比数列通项公式
设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
3. 等差数列前 $ n $ 项和
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
4. 等比数列前 $ n $ 项和
当 $ q \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
5. 不等式基本性质
- 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $
- 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $
- 若 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $
五、导数与积分（选修内容）
1. 常见函数的导数
- $ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx}e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $
2. 不定积分基本公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
结语
高中数学虽然内容繁多，但掌握好这些常用公式，能够帮助学生更高效地解决各类数学问题。建议在学习过程中，不仅要记忆公式，更要理解其推导过程和应用场景，这样才能真正提升数学思维能力和解题技巧。
