【等差数列经典试题（百度文库）】在数学学习过程中，等差数列是一个非常重要的知识点，尤其在高中数学中占据着重要地位。它不仅在考试中频繁出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一内容，本文整理了一些经典的等差数列题目，并附有详细的解析，适合用于复习和巩固。
一、等差数列的基本概念
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差值称为“公差”，通常用字母 d 表示。如果一个数列的首项为 a₁，公差为 d，那么它的通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
而前 n 项和的公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
二、经典试题解析
题目1：
已知等差数列的前三项分别为 3, 7, 11，求第 10 项和前 10 项的和。
解析：
由题意可知，首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 7 - 3 = 4 $。
第 10 项为：
$$
a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 4 = 3 + 36 = 39
$$
前 10 项和为：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5 \times 42 = 210
$$
题目2：
若等差数列的第 5 项为 15，第 8 项为 24，求该数列的首项和公差。
解析：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则：
$$
a_5 = a_1 + 4d = 15 \\
a_8 = a_1 + 7d = 24
$$
将两式相减得：
$$
(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 24 - 15 \Rightarrow 3d = 9 \Rightarrow d = 3
$$
代入第一式：
$$
a_1 + 4 \times 3 = 15 \Rightarrow a_1 = 15 - 12 = 3
$$
所以，首项为 3，公差为 3。
题目3：
一个等差数列的前 5 项和为 50，第 5 项为 18，求该数列的公差和前 10 项和。
解析：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $。
由题意得：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 50 \Rightarrow 5(a_1 + 2d) = 50 \Rightarrow a_1 + 2d = 10 \quad (1)
$$
又因为第 5 项为 18：
$$
a_5 = a_1 + 4d = 18 \quad (2)
$$
由(1)和(2)联立：
$$
a_1 + 2d = 10 \\
a_1 + 4d = 18
$$
相减得：
$$
2d = 8 \Rightarrow d = 4
$$
代入(1)得：
$$
a_1 + 8 = 10 \Rightarrow a_1 = 2
$$
前 10 项和为：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(2 \times 2 + 9 \times 4) = 5(4 + 36) = 5 \times 40 = 200
$$
三、总结
等差数列是数列中的基础类型之一，掌握其基本公式和解题技巧对于解决相关问题至关重要。通过上述经典试题的练习，可以加深对等差数列的理解，并提升解题能力。建议同学们多做类似题目，灵活运用公式，提高逻辑思维和计算能力。
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