在数学学习中，对数函数是一个重要的知识点，广泛应用于科学、工程和经济学等领域。为了帮助学生更好地掌握对数函数的性质与应用，以下是一些精选的练习题，涵盖基础概念、图像分析以及实际问题的解决。

一、选择题

1. 若 $ \log_2 x = 3 $，则 $ x $ 的值为（ ）

A. 6

B. 8

C. 9

D. 12

2. 下列函数中，不是对数函数的是（ ）

A. $ y = \log_3 x $

B. $ y = \ln x $

C. $ y = \log_{10} (x + 1) $

D. $ y = 2^x $

3. 已知 $ \log_a 8 = 3 $，则 $ a $ 的值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

二、填空题

4. 计算：$ \log_5 25 = \_\_\_\_ $

5. 若 $ \log_2 x = -3 $，则 $ x = \_\_\_\_ $

6. $ \log_3 81 = \_\_\_\_ $

三、解答题

7. 求函数 $ y = \log_2 (x - 1) $ 的定义域，并画出其大致图像。

8. 解方程：$ \log_4 (x + 3) = 2 $

9. 比较大小：$ \log_3 5 $ 和 $ \log_4 6 $，并说明理由。

10. 某种细菌每小时数量翻倍，初始数量为 100 个，问经过多少小时后数量达到 1600 个？请用对数函数表示解题过程。

四、拓展题

11. 已知 $ \log_2 a = 3 $，$ \log_2 b = 5 $，求 $ \log_2 (a^2 \cdot b^3) $ 的值。

12. 设 $ f(x) = \log_3 (x + 2) $，求 $ f^{-1}(x) $ 并指出其定义域和值域。

答案参考（供练习使用）

1. B

2. D

3. A

4. 2

5. $ \frac{1}{8} $

6. 4

7. 定义域：$ x > 1 $；图像为以 $ x = 1 $ 为渐近线的递增曲线。

8. $ x = 13 $

9. $ \log_3 5 < \log_4 6 $，因为 $ \log_3 5 \approx 1.465 $，$ \log_4 6 \approx 1.292 $。

10. $ x = \log_2 16 = 4 $ 小时

11. 19

12. $ f^{-1}(x) = 3^x - 2 $，定义域：$ x \in \mathbb{R} $，值域：$ y > -2 $

通过这些题目，可以系统地复习对数函数的基本性质、运算规则以及图像特征，同时提升运用对数知识解决实际问题的能力。建议在做题过程中结合教材或教师讲解，深入理解每个步骤的意义。