在高等数学中，分部积分法是一种重要的计算不定积分或定积分的方法。它主要用于处理两个函数乘积形式的积分问题。这种方法的核心思想是通过将一个复杂的积分问题转化为相对简单的积分问题来解决。
分部积分公式
分部积分的基本公式可以表示为：
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
其中，\( u \) 和 \( dv \) 是原积分中的两个部分。选择合适的 \( u \) 和 \( dv \) 是应用此方法的关键。
选择 \( u \) 和 \( dv \) 的原则
1. ILATE规则：这是一个常用的指导原则，用于帮助选择 \( u \) 和 \( dv \)。ILATE代表了优先级顺序：
- I: 反三角函数 (Inverse trigonometric functions)
- L: 对数函数 (Logarithmic functions)
- A: 幂函数 (Algebraic functions)
- T: 三角函数 (Trigonometric functions)
- E: 指数函数 (Exponential functions)
根据这一规则，优先选择较早出现的函数作为 \( u \)，其余部分则作为 \( dv \)。
2. 易于求导和积分：尽量选择那些容易求导且积分后的表达式不会变得更复杂的函数作为 \( u \)。
示例解析
例题1
计算积分 \( \int x e^x \, dx \)。
- 设 \( u = x \)，则 \( du = dx \)。
- 设 \( dv = e^x \, dx \)，则 \( v = e^x \)。
代入分部积分公式：
\[
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C
\]
因此，结果为：
\[
\int x e^x \, dx = (x - 1)e^x + C
\]
例题2
计算积分 \( \int \ln x \, dx \)。
- 设 \( u = \ln x \)，则 \( du = \frac{1}{x} \, dx \)。
- 设 \( dv = dx \)，则 \( v = x \)。
代入分部积分公式：
\[
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C
\]
因此，结果为：
\[
\int \ln x \, dx = x (\ln x - 1) + C
\]
总结
分部积分法是一种灵活且实用的积分技巧，适用于多种类型的积分问题。掌握好 \( u \) 和 \( dv \) 的选择原则，并结合具体题目进行练习，能够有效提高解决此类问题的能力。希望上述例题能帮助你更好地理解和运用分部积分法。
