在数学分析中，导数是一个非常重要的概念，它不仅帮助我们理解函数的变化趋势，还广泛应用于物理、工程和经济学等领域。本文将通过几个具体的例子来展示导数的实际应用。

例一：优化问题

假设一家公司生产某种产品，其成本函数为 \( C(x) = 50x + 0.01x^2 \)，其中 \( x \) 表示生产的数量（单位：件）。为了最小化生产成本，我们需要找到成本函数的极值点。

首先，求导数 \( C'(x) = 50 + 0.02x \)。令 \( C'(x) = 0 \)，解得 \( x = -2500 \)。由于 \( x \) 必须是非负的，所以 \( x = 0 \) 是唯一可能的极值点。进一步验证得知，当 \( x = 0 \) 时，成本函数取得最小值。

例二：速度与加速度

一辆汽车沿直线行驶，其位置函数为 \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \)，其中 \( s \) 表示距离（单位：米），\( t \) 表示时间（单位：秒）。我们需要计算汽车的速度和加速度。

速度 \( v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \)，加速度 \( a(t) = v'(t) = 6t - 12 \)。当 \( t = 2 \) 秒时，速度 \( v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = -3 \) 米/秒，加速度 \( a(2) = 6(2) - 12 = 0 \) 米/秒²。

例三：经济学中的边际分析

某商品的需求函数为 \( D(p) = 100 - 2p \)，其中 \( p \) 表示价格（单位：元）。边际需求表示价格每增加一个单位时需求量的变化量。

求导数 \( D'(p) = -2 \)，这意味着当价格增加1元时，需求量减少2个单位。

通过这些例子可以看出，导数在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决各种复杂的问题。希望这些实例能为大家提供一些启发和帮助。