在数学中，绝对值不等式是一种常见的题型，其特点是含有未知数的绝对值符号。这类问题往往需要分情况讨论，以确保解集的完整性与准确性。本文将通过几个典型例题，详细讲解如何解决含绝对值不等式的问题，并附上完整的解答过程。
一、基本概念回顾
绝对值的定义是：对于任意实数 \(x\)，有
\[
|x| =
\begin{cases}
x, & \text{当 } x \geq 0; \\
-x, & \text{当 } x < 0.
\end{cases}
\]
因此，含绝对值的不等式可以分为两种形式：
1. \( |f(x)| > g(x) \)
2. \( |f(x)| < g(x) \)
解决这类问题的核心思想是去掉绝对值符号，通常通过分区间讨论或利用绝对值的性质进行转化。
二、典型例题解析
例题 1：求解不等式 \( |x - 3| < 5 \)
分析：
根据绝对值的定义，我们可以将原不等式转化为一个分段函数的形式：
\[
|x - 3| < 5 \iff -5 < x - 3 < 5.
\]
接下来只需对两边同时加上 3，得到：
\[
-2 < x < 8.
\]
结论：
该不等式的解集为 \( (-2, 8) \)。
例题 2：求解不等式 \( |2x + 1| \geq 7 \)
分析：
类似地，我们可以通过拆分绝对值符号，将不等式写为两个部分：
\[
|2x + 1| \geq 7 \iff 2x + 1 \leq -7 \quad \text{或} \quad 2x + 1 \geq 7.
\]
分别解这两个不等式：
1. \( 2x + 1 \leq -7 \):
\[
2x \leq -8 \implies x \leq -4.
\]
2. \( 2x + 1 \geq 7 \):
\[
2x \geq 6 \implies x \geq 3.
\]
因此，解集为 \( (-\infty, -4] \cup [3, +\infty) \)。
例题 3：求解不等式 \( |x^2 - 4| < 3 \)
分析：
这里需要注意的是，绝对值符号内的表达式 \( x^2 - 4 \) 是一个二次函数。首先令 \( y = x^2 - 4 \)，则原不等式变为：
\[
|y| < 3 \iff -3 < y < 3.
\]
代入 \( y = x^2 - 4 \)，得：
\[
-3 < x^2 - 4 < 3.
\]
进一步化简为：
\[
1 < x^2 < 7.
\]
对 \( x^2 \) 的范围取平方根，注意正负号的影响：
\[
-\sqrt{7} < x < -1 \quad \text{或} \quad 1 < x < \sqrt{7}.
\]
结论：
该不等式的解集为 \( (-\sqrt{7}, -1) \cup (1, \sqrt{7}) \)。
三、总结与方法归纳
1. 去绝对值符号： 绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号，这通常需要分情况讨论。
2. 分区间处理： 根据绝对值内部表达式的符号变化，将问题划分为若干子区间。
3. 检查边界点： 每次解出不等式后，需验证边界点是否满足条件。
通过以上方法，我们可以系统性地解决各类含绝对值不等式的问题。希望本文提供的思路和示例能够帮助读者更好地掌握这一知识点！
如果还有其他疑问，欢迎随时交流！
