在高中数学的学习中，解析几何是一个重要的模块，它结合了代数与几何的特点，通过坐标系将几何问题转化为代数问题来解决。对于备考高考的学生来说，掌握解析几何的相关知识和解题技巧至关重要。本文将对一些典型的高考数学解析几何大题进行详细解答，帮助学生更好地理解和应对考试中的相关题目。
例题一：直线与圆的位置关系
题目描述
已知圆的方程为 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)，直线方程为 \(3x - 4y + k = 0\)。当直线与圆相切时，求参数 \(k\) 的值。
解题思路
首先，将圆的一般方程化为标准形式。通过配方可得：
\[
(x-3)^2 + (y+4)^2 = 16
\]
因此，圆心为 \((3, -4)\)，半径为 \(r = 4\)。
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。利用点到直线的距离公式：
\[
d = \frac{|3(3) - 4(-4) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 + 16 + k|}{5}
\]
令 \(d = r = 4\)，则有：
\[
\frac{|25 + k|}{5} = 4
\]
解得 \(|25 + k| = 20\)，即 \(25 + k = 20\) 或 \(25 + k = -20\)。
分别解得 \(k = -5\) 或 \(k = -45\)。
答案
\[
k = -5 \quad \text{或} \quad k = -45
\]
例题二：椭圆的基本性质
题目描述
已知椭圆的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)），且其焦距为 \(2c = 8\)，离心率为 \(e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\)。求椭圆的标准方程。
解题思路
由题意可知，焦距 \(2c = 8\)，则 \(c = 4\)。离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\)，代入得：
\[
a = \frac{c}{e} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6
\]
根据椭圆的定义，\(b^2 = a^2 - c^2\)，代入计算：
\[
b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20
\]
因此，椭圆的标准方程为：
\[
\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1
\]
答案
\[
\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1
\]
总结
解析几何是高考数学的重要组成部分，涉及直线、圆、椭圆等多种几何图形及其性质。通过对典型例题的分析与解答，可以加深对知识点的理解，并提高解题能力。希望以上内容能为考生提供一定的帮助。在复习过程中，建议多做练习题，总结解题规律，以达到熟练掌握的目的。
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