在高中数学的学习中，立体几何是一个重要的模块，而空间向量作为解决立体几何问题的重要工具，其重要性不言而喻。通过合理运用空间向量，可以将复杂的几何问题转化为代数运算，从而简化求解过程。以下将以几个典型的例题为例，展示空间向量在立体几何中的具体应用。
例题1：证明线面平行
已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E为棱BB₁的中点，F为棱CC₁的中点。试证明直线EF与平面A₁B₁C₁D₁平行。
解题思路：
1. 建立坐标系：以正方体的一个顶点为原点O，建立空间直角坐标系。
2. 确定点的坐标：根据题目条件，设正方体边长为a，则各点坐标可表示为：
- A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a), D₁(0, a, a)
- E($\frac{a}{2}$, 0, $\frac{a}{2}$), F(a, a, $\frac{a}{2}$)
3. 计算向量：利用两点间距离公式，求得$\overrightarrow{EF} = (a-\frac{a}{2}, a-0, \frac{a}{2}-\frac{a}{2}) = (\frac{a}{2}, a, 0)$。
4. 验证平行关系：观察平面A₁B₁C₁D₁的方向向量，发现其法向量为$\vec{n} = (0, 0, 1)$。显然$\overrightarrow{EF} \cdot \vec{n} = 0$，说明$\overrightarrow{EF}$与平面A₁B₁C₁D₁垂直，因此EF与该平面平行。
例题2：求二面角大小
已知三棱锥P-ABC，其中PA⊥平面ABC，且AB=AC=2，BC=$\sqrt{2}$。若点P到平面ABC的距离为1，求二面角B-PC-A的大小。
解题思路：
1. 建立坐标系：以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系。
2. 确定点的坐标：设B(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，P(0, 0, 1)。
3. 计算向量：分别求得$\overrightarrow{PB} = (2, 0, -1)$和$\overrightarrow{PC} = (0, 2, -1)$。
4. 求法向量：设平面PBC的法向量为$\vec{n}$，则由$\vec{n} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$及$\vec{n} \cdot \overrightarrow{PC} = 0$，可解得$\vec{n} = (1, 1, 2)$。
5. 计算夹角余弦值：利用公式$\cos\theta = \frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{PA}}{|\vec{n}| |\overrightarrow{PA}|}$，最终得出二面角大小。
例题3：求异面直线间的距离
已知两条异面直线l₁：$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = z$，l₂：$\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$。求这两条直线之间的最短距离。
解题思路：
1. 化简方程：将两直线参数方程化为标准形式。
2. 确定方向向量：l₁的方向向量为$\vec{d_1} = (2, 3, 1)$，l₂的方向向量为$\vec{d_2} = (1, 2, -1)$。
3. 求公垂线方向向量：计算$\vec{d} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}$。
4. 计算距离：利用公式$d = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{d}|}$，其中$\vec{AB}$为任意一条直线上的一点到另一条直线上的点的向量。
通过以上三个例题可以看出，空间向量不仅能够帮助我们解决传统几何问题，还能提供一种更加直观和高效的解题方法。希望这些例子能对大家理解和掌握空间向量的应用有所帮助！
