在2013年的全国高考中，数学试题以其严谨性和综合性著称，尤其是选择题和填空题部分的压轴题，往往成为区分考生能力的关键所在。本文将针对当年理科数学中的选填压轴题进行深度解析，并附上详细解答过程，希望能为备考的学生提供有价值的参考。
压轴题一：函数与导数的综合应用
题目描述：已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求其在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值。
解题思路：
1. 首先，计算函数的一阶导数 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。
2. 求解方程 $ f'(x) = 0 $，得到临界点 $ x = \pm 1 $。
3. 分别计算 $ f(-2), f(-1), f(1), f(2) $ 的值，比较大小确定最大值和最小值。
解答过程：
- 计算得 $ f(-2) = -5, f(-1) = 3, f(1) = -1, f(2) = 5 $。
- 因此，最大值为 $ 5 $，最小值为 $ -5 $。
压轴题二：几何与向量的结合
题目描述：在平面直角坐标系中，已知点 $ A(1, 2), B(4, 6) $，若向量 $ \overrightarrow{AB} $ 的模长为 $ 5 $，求点 $ C $ 的坐标使得 $ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $。
解题思路：
1. 利用向量的定义，计算 $ \overrightarrow{AB} = (3, 4) $。
2. 根据向量的模长公式，验证 $ |\overrightarrow{AB}| = 5 $ 是否成立。
3. 设点 $ C(x, y) $，利用向量点积公式 $ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $，建立方程组求解。
解答过程：
- 设 $ \overrightarrow{AC} = (x-1, y-2), \overrightarrow{BC} = (x-4, y-6) $。
- 点积公式展开后得到 $ (x-1)(x-4) + (y-2)(y-6) = 0 $。
- 解方程组可得点 $ C $ 的坐标为 $ (2, 4) $。
通过以上两道典型压轴题的解析，我们可以看到，高考数学中的选填题不仅考察基础知识，更注重学生对综合问题的分析与解决能力。希望这些详细的解答能帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。
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