高等数学是大学教育中一门非常重要的基础课程，它不仅为后续专业课程打下坚实的数学基础，还培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。为了帮助大家更好地掌握高等数学的知识点，下面我们将提供一份精选的高数题库以及详细的解答。
一、函数与极限
题目1：
求函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 的极限当 \( x \to 2 \)。
解答：
通过因式分解可以得到：
\[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \]
当 \( x \neq 2 \)，上式可简化为 \( f(x) = x + 2 \)。
因此，\( \lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4 \)。
二、导数与微分
题目2：
设 \( y = e^{3x} \sin(2x) \)，求 \( y' \)。
解答：
利用乘积法则和链式法则：
\[ y' = (e^{3x})'( \sin(2x)) + (e^{3x})(\sin(2x))' \]
\[ = 3e^{3x}\sin(2x) + e^{3x}(2\cos(2x)) \]
\[ = e^{3x}(3\sin(2x) + 2\cos(2x)) \]
三、积分
题目3：
计算不定积分 \( \int x^2 e^x dx \)。
解答：
采用分部积分法，令 \( u = x^2 \)，\( dv = e^x dx \)，则 \( du = 2x dx \)，\( v = e^x \)。
\[ \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx \]
对后一项再次使用分部积分：
\[ \int 2x e^x dx = 2xe^x - \int 2e^x dx = 2xe^x - 2e^x \]
所以最终结果为：
\[ \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C \]
四、级数
题目4：
判断级数 \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \) 是否收敛，并求其和。
解答：
这是一个交错级数，且 \( |a_n| = \frac{1}{n^2} \) 满足单调递减且趋于零的条件，因此由莱布尼茨判别法知该级数收敛。
其和可以通过解析方法或数值方法近似计算得出，具体值约为 0.822467。
以上题目涵盖了高等数学中的几个核心部分，希望大家能够通过这些练习加深对知识点的理解。如果还有其他问题或者需要更多练习题，请随时提问！
