【指数分布期望方差证明方法】指数分布是连续型概率分布，常用于描述事件发生的时间间隔。其概率密度函数为 $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $（$ x \geq 0 $），其中 $ \lambda > 0 $ 是速率参数。
期望与方差的证明方法总结如下：
| 内容 | 公式及推导过程 |
| 期望 $ E(X) $ | $ \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda} $ |
| 方差 $ Var(X) $ | $ E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 = \frac{1}{\lambda^2} $ |
通过积分计算可得期望和方差的具体表达式，适用于实际问题中对事件时间间隔的建模与分析。
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